Nella mente matematica di Olivia Caramello

Presidente e ideatrice dell’Istituto Grothendieck di Mondovì

La matematica Olivia Caramello.

Fisica di formazione, collabora con diverse testate nazionali ed estere come giornalista e divulgatrice scientifica. Ha collaborato con molti Istituti di Ricerca e Osservatori Astronomici italiani e internazionali. Nel 2008 ha ricevuto il Premio “Voltolino” in giornalismo scientifico.

  

“È il tema del topos… che costituisce questo “letto”, o questo “fiume profondo”, dove vengono a sposarsi la geometria e l’algebra, la topologia e l’aritmetica, la logica matematica e la teoria delle categorie, il mondo del continuo e quello delle strutture “discontinue” o “discrete”… È la cosa più vasta che ho concepito, per cogliere con finezza, attraverso uno stesso linguaggio ricco di risonanze geometriche, un’“essenza” comune a situazioni tra le più distanti, provenienti da tale regione o tal altra del vasto universo delle cose matematiche.”

Questa citazione potrebbe essere il sunto dell’intervista condotta alla professoressa Olivia Caramello, una giovane matematica che, tra i tanti impegni, dirige il neo Istituto Grothendieck di Mondovì e porta avanti un modo diverso e rivoluzionario di vedere o di percepire la matematica.

Olivia Caramello durante la conferenza
Olivia Caramello durante la conferenza "Visions in mathematics: from Grothendieck to the present day"organizzata dall'Istituto Grothendieck e tenuta a Parigi.

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L’Istituto Grothendieck a Mondovì

L’Istituto Grothendieck è una fondazione con la missione di effettuare ricerche altamente innovative in ambito matematico e interdisciplinare e di onorare la figura di Alexander Grothendieck attraverso un’ampia opera di valorizzazione e di sviluppo dei suoi temi di ricerca e della sua eredità culturale. L’Istituto, che ha carattere internazionale, persegue i suoi obiettivi offrendo – anche in collaborazione con università straniere – borse di dottorato e assegni di ricerca a giovani studiosi eccellenti selezionati dal suo Consiglio Scientifico.

Come mai un istituto di alta matematica ha sede proprio a Mondovì?

La scelta nasce dal desiderio della professoressa di creare una realtà internazionale d’eccellenza in matematica nella sua città di origine, luogo che ama particolarmente per la qualità della vita, i servizi e la sua vivacità culturale. Ho quindi deciso di prendermi un pomeriggio per visitare l’Istituto. Prima di tutto ho scoperto, passeggiando per la città, che questo luogo custodisce magnifiche meridiane, utili a definire il tempo. E proprio il tempo dedicato all’intervista concessomi in presenza dalla presidentessa, mi ha fatto conoscere il matematico pioniere a cui l’Istituto è intitolato, Alexander Grothendieck, autore della precedente citazione.

Alcune delle meridiane presenti a Mondovì.

Passione matematica

Tutto ha inizio dallo straordinario percorso professionale della professoressa Caramello:

Ho iniziato ad appassionarmi seriamente alla matematica all’età di 13 anni; spinta da questa passione, accelerando il percorso di studi, mi sono ritrovata a frequentare l’Università a 16 anni. Fondamentale è stata l’intuizione prima, e l’esperienza poi, che la matematica fosse uno spazio di libertà nel quale avrei potuto esprimere la mia creatività e nel contempo condividere le mie scoperte con gli altri su un piano di totale oggettività.

Gli anni dell’adolescenza sono stati fondamentali perché è in quel periodo che ha iniziato a fare ricerca, prima su temi di teoria dei numeri, successivamente su questioni di matematica discreta e combinatoria. Poi, durante la Laurea Magistrale, ha maturato un interesse sempre più forte per la logica, la teoria delle categorie e la teoria dei topoi, intravedendo in queste tecniche astratte un enorme potenziale anche in relazione a temi più concreti come quelli da cui era partita. Questo ambito di studi l’ha portata in Inghilterra dove ha scelto di svolgere un dottorato di ricerca presso l’Università di Cambridge.

Iniziare il dottorato con quel bagaglio di esperienze pregresse è stato cruciale perché, in un certo senso, ero già una matematica “matura”, a differenza della maggior parte degli studenti che cominciano tale percorso; conoscevo i miei mezzi e sapevo che tipo di risultati avrei voluto raggiungere, così non mi sono lasciata condizionare da chi mi proponeva temi meno ambiziosi ma che mi avrebbero permesso di ottenere più rapidamente pubblicazioni.
Nei giardini del Jesus College dell’Università di Cambridge, dove Caramello è stata Research Fellow per tre anni.
Nei giardini del Jesus College dell’Università di Cambridge, dove Caramello è stata Research Fellow per tre anni.

Con questa grande maturità, la professoressa fa una scelta audace e anche controcorrente, quella che forse dovrebbe essere il percorso fondamentale per un ricercatore, ovvero dedica più di un anno a studiare la letteratura in un determinato ambito, per rielaborare in modo personale quello che legge. Nasce così la teoria dei ‘ponti’, proprio durante il suo dottorato a Cambridge.

Oggi il suo lavoro mira allo sviluppo di metodi unificanti e interdisciplinari, sia all’interno della matematica stessa, sia in relazione ad altre discipline. È attiva sia all’Università dell’Insubria a Como sia all’Università di Parigi-Saclay, e come già ricordato è Presidente dell’Istituto Grothendieck, una fondazione da lei recentemente costituita, dove dirige il Centro per la Teoria dei Topoi e le sue Applicazioni.

Il mio lavoro consiste primariamente nello sviluppare il potenziale unificante della nozione di topos di Grothendieck; a partire dal dottorato, ho introdotto ed elaborato un insieme di tecniche, note sotto il nome di “teoria dei topoi come ‘ponti’”, che permettono di utilizzare efficacemente i topoi come oggetti ‘ponte’ utili a collegare tra loro teorie differenti e trasferire idee, nozioni e risultati tra di esse.
Presentazione di Olivia Caramello (Presidente) all’evento inaugurale dell’Istituto Grothendieck, 2023.

Ma chi era Alexander Grothendieck?

Nato il 28 marzo 1928 a Berlino e morto il 13 novembre 2014, vincitore della medaglia Fields nel 1966, massimo riconoscimento per un matematico, è considerato uno dei più grandi matematici del XX secolo. Ha contribuito in modo significativo a diverse aree della matematica, in particolare alla topologia, all'algebra astratta e alla geometria algebrica. Grothendieck ha studiato presso l'Università di Nancy, dove ha ottenuto il dottorato nel 1953 sotto la supervisione di Jean Dieudonné. La sua carriera accademica lo ha portato in diverse istituzioni, tra cui l'Università del Kansas e l'Università di Harvard, fino all’IHES di Parigi, dove ha svolto gran parte del suo lavoro e ha influenzato numerosi studenti e collaboratori.  Il suo genio matematico l’ha tuttavia esposto a notevoli difficoltà, che l’hanno portato a ritirarsi progressivamente dal mondo accademico conducendo una vita sempre più isolata. Ha rifiutato premi e riconoscimenti e ha cercato di distanziarsi dalla comunità matematica tradizionale.

Grothendieck durante i Séminaire de Géométrie Algébrique (foto tratta da matematica.unibocconi.eu).
Grothendieck durante i Séminaire de Géométrie Algébrique (foto tratta da matematica.unibocconi.eu).

La sua eredità matematica, tuttavia, rimane straordinariamente influente, il suo impatto sulla geometria algebrica e su molte altre branche della matematica è duraturo e i suoi scritti sono attualmente oggetto di studio e di divulgazione in tutto il mondo. L’opera di Grothendieck si connette con la nostra storia perché è stato l’ideatore della cosiddetta Teoria dei Topoi, che è diventata uno strumento fondamentale per trovare connessioni tra aree a prima vista completamente differenti della matematica. È proprio da questo punto che la professoressa Caramello è partita per ideare la sua Teoria dei Ponti. Cosa sono? La professoressa si alza e fa qualche cosa di naturale nella sua professione, ma inusuale in un’intervista, va alla lavagna e mi spiega i concetti. Oggi, non con il gesso, ma con la penna elettronica che scorre sicura sullo schermo della LIM, così inizia a tracciare segmenti, simboli e parentesi, illuminati dal suo entusiasmo.

Per creare “ponti” bisogna identificare gli invarianti, cioè quegli aspetti universali e profondi della realtà, matematica e non, che governano il modo in cui le cose si manifestano a noi in relazione a ciò che esse realmente sono. Cercare gli invarianti significa cercare ciò che le cose hanno in comune tra loro “sotto la superficie”, ovvero a dispetto della varietà delle loro diverse manifestazioni; vuol dire provare a risalire alla sorgente, ovvero a quel nucleo comune e unitario a partire dal quale, per “differenziazione”, si generano le diverse forme con cui noi entriamo in contatto concretamente.

Volete un esempio di “ponte” che tutti hanno studiato a scuola e forse dimenticato?

Quando si usano le coordinate cartesiane e si traccia un grafico, si sta utilizzando la geometria analitica. Ecco, si tratta di un ponte. Un ponte tra la geometria, che si occupa di spazio e di figure geometriche, e l’algebra che studia le relazioni tra i numeri utilizzando equazioni. Un collegamento tra due campi della matematica: entrambi descrivono in modi alquanto diversi una stessa realtà matematica.

Spiegazione alla lavagna della Teoria dei Ponti.
Spiegazione alla lavagna della Teoria dei Ponti.

La Teoria dei Ponti

La teoria che ha sviluppato la professoressa permette di indagare sistematicamente i ponti che esistono in matematica, scoprirne di nuovi e reinterpretare dualità o corrispondenze classiche da un punto di vista superiore.

Gli invarianti sono fondamentali in qualsiasi ambito della conoscenza, benché non se ne abbia necessariamente la percezione. Sono ciò che permette di pensare e fare ricerca in modo realmente dinamico e interdisciplinare, spiega la professoressa.

Tutto questo è veramente affascinante anche agli occhi dei profani, perché basta pensare alle varie potenzialità pratiche che ne verrebbero in differenti campi ed è quasi scontato che, al momento, sia la ricerca che le ha dato maggiore soddisfazione.

Devo dire che, ancora oggi, l’esperienza più bella del mio percorso di matematica rimane la scoperta dei miei primi ‘ponti’, cosa che avvenne durante il dottorato; comprendere che quei primi calcoli ed esempi avevano un senso molto più ampio, quasi universale, nel senso che tali principi avrebbero potuto trovare applicazione in una straordinaria varietà di altri contesti, e iniziare a sperimentale la “fecondità” di quella visione, è stato qualcosa di meraviglioso e indimenticabile, di cui vivo ancora oggi.
Negli anni successivi ho, infatti, ulteriormente sviluppato e affinato quelle tecniche, approfondendo l’opportunità del “pensare in termini di ‘ponti’” nei più svariati contesti; così, progressivamente, la mia visione del mondo, non solo della matematica, si è arricchita e approfondita in un modo che non avrei mai immaginato: imparare a vedere gli invarianti, nelle situazioni più disparate, è un’esperienza, anzi, uno stile di vita, che consiglio a tutti.

Su questo punto la professoressa mi confida che riceve sempre più contatti da ricercatori interessati a utilizzare questa teoria nei loro campi, e non posso fare a meno di immaginare che sarebbe bellissimo se potesse essere applicata in campo fisico.

Il come ce lo suggerisce la stessa Caramello. Uno dei problemi più intriganti della fisica moderna, inseguito da quasi un secolo, è l’apparente incompatibilità tra la fisica quantistica, che descrive l’infinitamente piccolo, e la relatività generale che descrive la gravità e funziona su grandi distanze, e ci sono delle ricerche che sperano di far luce su questa difficoltà proprio utilizzando la Teoria dei Ponti.

Olivia Caramello - Topoi come ‘ponti’ unificanti: una morfogenesi matematica, 2021.

Ascoltare la "voce delle cose"

Ispirare gli altri è uno dei più grandi riconoscimenti personali, ma come si arriva a fare ricerca proficuamente? L’ispirazione, come ci spiega, arriva spontaneamente dopo un lungo lavoro dedicato ad approfondire un certo argomento, leggendo la letteratura rilevante in modo critico e reinterpretandola sulla base della propria sensibilità, esperienza e visione. Per la professoressa, le idee più profonde scaturiscono in modo naturale, dopo che si è fatto un lavoro preliminare di questo tipo, il che può richiedere mesi, se non anni.

Non bisogna pensare “a breve termine”, forzare le cose per cercare di arrivare prima, a costo di saltare passaggi importanti, o avere un’attitudine “conflittuale” verso i propri oggetti di studio; piuttosto, bisogna mettersi in “ascolto”, come diceva Grothendieck, della “voce delle cose”, cioè mantenere un attitudine di massima ricettività e apertura verso la ricchezza delle cose.

Il connubio tra matematica e arte è un altro tratto peculiare di Grothendieck. Sfogliando alcuni testi dedicati alle sue opere, Olivia Caramello mi fa notare i suoi schizzi che accompagnano le sue pagine autografe, e rimanendo in tema artistico scopro che la professoressa è diplomata in pianoforte. Arte, musica e matematica, una relazione fruttuosa tra i matematici?

La musica non mancherà nell’ambito del programma sociale del convegno mondiale di teoria dei topoi, programmato per settembre 2024 a Mondovì, il quale prevedrà anche degli incontri con il grande pubblico. Chi fosse interessato a partecipare potrà consultare nei prossimi mesi il sito dell’Istituto.

Sfogliando le pagine dei libri dedicati alle opere di Grothendieck.
Sfogliando le pagine dei libri dedicati alle opere di Grothendieck.

Nuovi orizzonti

La divulgazione scientifica è un tema caro alla professoressa, che lo reputa fondamentale non soltanto per la società nel suo insieme ma anche per gli addetti ai lavori, cioè i ricercatori, in quanto strumento chiave nello sviluppo del dialogo interdisciplinare.

Il modo migliore di fare divulgazione consiste, a mio avviso, non tanto nel cercare di semplificare allo scopo di rendere comprensibili nozioni intrinsecamente complesse, con il rischio di snaturarle, ma nell’identificare gli aspetti concettuali e metodologici fondamentali che caratterizzano le teorie scientifiche che si vuole illustrare, e comunicarli anche utilizzando la tecnica della metafora e dell’analogia, per agevolarne la comprensione. In questo Alexander Grothendieck era un vero maestro; aveva la capacità di parlare della matematica, e non solo, in modo estremamente poetico e suggestivo, senza mai perdere precisione, lucidità e rigore.

Altre sfide attendono Olivia Caramello. Assieme al suo gruppo di ricerca sta portando avanti lo sviluppo della teoria dei topoi come ‘ponti’ sia da un punto di vista teorico che applicativo. Il loro obiettivo è quello di sviluppare questo ambizioso programma di unificazione in tutte le direzioni e rendere tali metodi, molto sofisticati da un punto di vista tecnico, sempre più accessibili ai matematici che lavorano nei più diversi settori, nonché a studiosi di altre discipline.

Lavoro quindi in simultanea su diversi progetti; uno di quelli a cui tengo particolarmente riguarda un’applicazione della teoria dei ‘ponti’ ad uno dei problemi fondamentali della geometria algebrica, la costruzione dei cosiddetti “motivi”, degli oggetti universali congetturati da Grothendieck. Nel 2015 avevo scritto un articolo programmatico intitolato “Motivic toposes” in cui enunciavo delle congetture a questo riguardo. Si tratta di un approccio completamente nuovo alla costruzione dei motivi, particolarmente suggestivo in quanto unificherebbe le due nozioni che Grothendieck considerava le più importanti tra tutte quelle da lui introdotte, ovvero i topoi e i motivi.

Recentemente, con i suoi collaboratori, ha dimostrato un primo caso particolare, non eccessivamente complesso, ma già significativo, di queste congetture, e con il suo collega Laurent Lafforgue contano di proseguire il lavoro per arrivare a una dimostrazione completa, la quale aprirebbe orizzonti completamente nuovi...

Intervento di Laurent Lafforgue in occasione dell’inaugurazione dell’Istituto Grothendieck.

Un’eccellenza piemontese

Nell’Istituto Grothendieck sono presenti anche giovani collaboratori verso i quali la professoressa ha grande stima e ai quali consiglia di seguire le proprie passioni e di cercare di costruire una relazione personale con i propri oggetti di studio; la migliore forma di creatività, sia in ambito scientifico che artistico, si raggiunge, a suo avviso, coltivando una sensibilità sempre più profonda verso ciò a cui si è scelto di dedicarsi.

Bisogna cercare dentro di sé le motivazioni e l’amore per quello che si fa, e sviluppare il più presto possibile il proprio senso critico e la propria indipendenza di pensiero, cosa fondamentale anche per non farsi troppo influenzare dalle mode o dal giudizio altrui. Per fare scoperte rilevanti, è necessario precorrere i tempi, e essere troppo legati all’approvazione degli altri può costituire un freno allo sviluppo di idee realmente innovative.

Sicuramente al termine della visita dell’Istituto Grothendieck non si può non uscire arricchiti dagli sviluppi più che promettenti dell’alta matematica, vista non più come una disciplina meramente tecnica, ma come un motore per creare collegamenti con differenti realtà, superando la frammentazione disciplinare alla quale siamo abituati. Oltre alla grande passione per la propria professione traspare anche il desiderio che i ricercatori in visita trovino un ambiente ottimale dove svolgere o sviluppare la propria creatività.

Mondovì è una città universitaria – sede distaccata del Politecnico di Torino – e ospita anche altre realtà di eccellenza in ambito culturale e artistico, come l’orchestra Academia Montis Regalis, nota a livello internazionale per le sue interpretazioni di musica barocca e i suoi corsi di formazione che attraggono giovani musicisti da tutto il mondo.
Inoltre, la città si estende su un ampio territorio ma i diversi rioni in cui è suddivisa possono essere facilmente esplorati a piedi. Camminare è un’attività che stimola particolarmente la mia creatività, e farlo circondata da una grande bellezza rende il tutto ancora più interessante. Mi fa molto piacere far scoprire questi luoghi ai ricercatori e ai visitatori dell’Istituto, e devo dire che tutti coloro che li hanno visitati finora ne sono stati entusiasti.

Ormai siamo al termine della giornata e con il panorama mozzafiato sull’arco alpino che si tinge dei colori del tramonto, abbiamo un’ultima curiosità. Al momento non esistono ancora ponti temporali, ma se la professoressa potesse andare indietro o avanti nel tempo, ovviamente non ha dubbi, vorrebbe incontrare Alexander Grothendieck, dirgli quanto la sua opera è stata fondamentale per lei e parlargli della teoria dei topoi come ‘ponti’.

Penso gli farebbe piacere vedere come le sue intuizioni sul ruolo unificante dei topoi si stiano concretamente realizzando.

Forse, proseguire un lavoro scientifico è anche un ponte. E citando Grothendieck “Il ruolo della scrittura non è quello di riportare i risultati di una ricerca, ma piuttosto il processo stesso della ricerca.” E con questo anche noi, oggi speriamo di esserci riusciti.

👉 Un ringraziamento personale alla professoressa Caramello, per l’ospitalità e soprattutto per il tempo dedicato all’intervista e alla visita dell’Istituto, un’altra eccellenza piemontese.

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